解题思路:由二倍角的余弦公式,化简整理得sinA(1+cosC)+sinC(1+cosA)=[3/2]sinB,再将左边展开并利用和的正弦公式合并,结合sin(A+C)=sinB消元得到sinA+sinC=2sinB,最后由正弦定理化简即可得a+c=2b,得到a,b,c成等差数列.
∵cos2
C
2=[1+cosC/2],cos2
A
2=[1+cosA/2]
∴由acos2
C
2+cos2
A
2=[3b/2],得a•
1+cosC
2+c•
1+cosA
2=
3b
2…(4分)
由正弦定理,得sinA(1+cosC)+sinC(1+cosA)=[3/2]sinB
∴sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB…(6分)
整理,得sinA+sin(A+C)+sinC=3sinB(*)…(8分)
∵在△ABC中A+B+C=π,∴sin(A+C)=sinB…(10分)
因此,在(*)式两边消去一个sinB,得sinA+sinC=2sinB,
再由正弦定理,得a+c=2b,所以a,b,c成等差数列…(13分)
点评:
本题考点: 正弦定理;等差关系的确定.
考点点评: 本题给出三角形ABC的边角关系的等式,求证三边成等差数列,着重考查了三角恒等变换和利用正余弦定理解三角形等知识,属于中档题.