在△ABC中,若acos2C2+cos2A2=[3b/2],求证:a,b,c成等差数列.

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  • 解题思路:由二倍角的余弦公式,化简整理得sinA(1+cosC)+sinC(1+cosA)=[3/2]sinB,再将左边展开并利用和的正弦公式合并,结合sin(A+C)=sinB消元得到sinA+sinC=2sinB,最后由正弦定理化简即可得a+c=2b,得到a,b,c成等差数列.

    ∵cos2

    C

    2=[1+cosC/2],cos2

    A

    2=[1+cosA/2]

    ∴由acos2

    C

    2+cos2

    A

    2=[3b/2],得a•

    1+cosC

    2+c•

    1+cosA

    2=

    3b

    2…(4分)

    由正弦定理,得sinA(1+cosC)+sinC(1+cosA)=[3/2]sinB

    ∴sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB…(6分)

    整理,得sinA+sin(A+C)+sinC=3sinB(*)…(8分)

    ∵在△ABC中A+B+C=π,∴sin(A+C)=sinB…(10分)

    因此,在(*)式两边消去一个sinB,得sinA+sinC=2sinB,

    再由正弦定理,得a+c=2b,所以a,b,c成等差数列…(13分)

    点评:

    本题考点: 正弦定理;等差关系的确定.

    考点点评: 本题给出三角形ABC的边角关系的等式,求证三边成等差数列,着重考查了三角恒等变换和利用正余弦定理解三角形等知识,属于中档题.