解题思路：（1）由图象可知A（1，0），B（4，6），可用待定系数求出抛物线的解析式；
（2）原抛物线的解析式可配方为
y＝(x−
3
2
)
2
−
1
4
，顶点坐标为（[3/2]，-[1/4]），先向左平移1个单位长度，再平移使抛物线与直线AB只有一个交点，得新抛物线的顶点为（[1/2]，0），设新抛物线的解析式为y=（x-h）2+k，把新抛物线的顶点坐标代入即可；
（3）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴为x=3．因此过P，M，N三点的圆的圆心必在直线x=3上，要使圆的面积最小，那么圆心到P点的距离也要最小（设圆心为C），即P，C两点的纵坐标相同，因此圆的半径就是3．求出P点的坐标．可设出平移后的抛物线的解析式，表示出MN的长，如果设对称轴与x轴的交点为E，那么可表示出ME的长，然后在直角三角形MEC中根据勾股定理即可确定平移的距离，即t的值．
（1）由图象可知A（1，0），B（4，6），代入y=ax2+bx+2．
得
0=a+b+2
6=16a+4b+2.解得
a=1
b=-3.
∴抛物线的解析式为y=x2-3x+2．
（2）原抛物线的解析式可配方为y=(x-
3
2)2-
1
4，抛物线向左平移1个单位长度后解析式为y=(x-
1
2)2-
1
4，设向上或向下平移h个单位长度，则解析式为y=(x-
1
2)2-
1
4+h．
由A、B两点坐标可求得直线AB的解析式为y=2x-2，
由
y=(x-
1
2)2-
1
4+h
y=2x-2
得(x-
1
2)2-
1
4+h=2x-2，化简得x2-3x+h+2=0，
∵抛物线与直线只有一个交点，即此一元二次方程只有唯一的根，
∴b2-4ac=0，即9-4×（h+2）=0．∴h=
1
4，也就是抛物线再向上平移[1/4]个单位长度能与直线AB只有一个交点，此时抛物线的解析式为y=(x-
1
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到待定系数求出抛物线的解析式，抛物线的顶点公式抛物线的平移不改变二次项的系数；抛物线的平移，看顶点的平移即可；左右平移，只改变顶点的横坐标，左减右加；上下平移，只改变顶点的纵坐标，上加下减．