解题思路:(1)由题意知:an=2an-1+1,a1=1,从而易得an+1=2(an-1+1),利用等比数列的通项公式可求得数列{an}的通项公式;
(2)由题意,a1=1,b1=1,S1=0,当2≤n≤2014时,Sn=Sn-1+
1
a
n−1
,bn=an•Sn,而Sn=S1+
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n−1
,从而可得
b
n
a
n
=
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n−1
,
b
n+1
a
n+1
=
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n−1
+
1
a
n
,于是易求
b
n+1
a
n+1
-
1+
b
n
a
n
(n∈N*,n≤2014)的值;
(3)由(2)知,知
1+
b
n
b
n+1
=
a
n
a
n+1
,b1=a1=1,b2=3,a2=3,于是易求
(1+
b
1
)(1+
b
2
)…(1+
b
n
)
b
1
•
b
2
…
b
n
=2(
1
a
n
+
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n−1
),将所证的关系式转化为证明
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n−1
+
1
a
n
<
5/3]即可,即证1+[1/3]+[1/7]+…+[1
2
n
−1
<
5/3],利用放缩法可证得结论.
(1)由题意知:an=2an-1+1,a1=1,
∴an+1=2(an-1+1),
∴an+1=(a1+1)•2n-1=2n,
∴an=2n-1(n∈N*,n≤2014).
(2)由题意,a1=1,b1=1,S1=0,
当2≤n≤2014时,Sn=Sn-1+[1
an−1,bn=an•Sn,
此时,Sn=S1+
1
a1+
1
a2+…+
1
an−1,
∴bn=an(
1
a1+
1
a2+…+
1
an−1),
∴
bn
an=
1
a1+
1
a2+…+
1
an−1,
∴
bn+1
an+1=
1
a1+
1
a2+…+
1
an−1+
1
an,
∴
bn+1
an+1-
bn
an=
点评:
本题考点: 数列递推式;数列的求和;程序框图.
考点点评: 本题考查数列的求和,着重考查数列的递推式的应用,考查程序框图的理解与应用,突出等价转化思想与抽象思维能力的考查,属于难题.
1年前
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