Question

已知全集U＝R，A＝{x|log2(3−x)≤2}，B＝{x|ax+2≥1．a∈R}

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）解对数不等式求出集合A，解分式不等式求出集合B．

（Ⅱ）由题意可得 B⊆C_UA，讨论区间的端点间的大小关系，求得实数a的取值范围．

（Ⅰ）由已知得：log₂（3-x）≤log₂4，

3−x≤4

3−x＞0，

解得-1≤x＜3，∴A={x|-1≤x＜3}．

a

x+2≥1 即

a−x−2

x+2≥0，

x−(a−2)

x+2≤ 0．

当 a-2＞-2，即a＞0时，B=（-2，a-2]，

当 a-2=-2，即a=0时，B=∅，

当 a-2＜-2，即a＜0时，B=[a-2，2）．

（Ⅱ）由（C_UA）∪B=C_UA得 B⊆C_UA，∵C_UA={x|x＜-1或x≥3}，

当a＞0时，由B⊆C_UA 可得a-2＜-1，故有 0＜a＜1．

当a=0时，B=∅，显然满足B⊆C_UA．

当a＜0时，B=[a-2，2），不满足B⊆C_UA．

综上，当 0≤a＜1 时，（C_UA）∪B=C_UA成立，

故实数a的取值范围是[0，1）．

点评：

本题考点： 其他不等式的解法；集合关系中的参数取值问题；对数函数的单调性与特殊点．

考点点评： 本题主要考查对数不等式的解法，分式不等式的解法，集合中参数的取值问题，体现了化归与转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．