Question

连续函数必有原函数,试问函数不连续原函数存在吗?给出证明或举例说明.（提示：分二类间断点讨论）

Answer 1

有个达布定理：导函数只能有第二类间断点,因此若函数有第一类间断点,必不存在原函数.有第二类间断点的函数可能有原函数,也可能没有原函数.比如f(x)=x^2sin1/x,当x不为0时；f(0)＝0.容易计算f'(0)=0,f'(x)=2xsin1/x－cos1/x,在x＝0处f'(x)有第二类间断点,f'(x)有原函数.再比如f(x)=1/x,当x不等于时；f(0)=0,这个函数就没有原函数.