已知A，B是n阶方阵，且满足A2=A，B2=B，与 - 知识问答

已知A，B是n阶方阵，且满足A2=A，B2=B，与（A-B）2=A+B，试证：AB=BA=0．

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解题思路：（1）证明（A-B）²=A+B的充分必要条件是AB=BA=0
（2）本题还是注重的是在运算过程中巧妙运用题中已给的关系式进行替换．
证明：因为（A-B）²=（A-B）（A-B）=（A+B）（A-B）
于是 A²-BA-AB+B²=A²+BA-AB-B²，所以 AB=BA，（A-B）²=A+B，A²-AB-BA+B²=A+B
因为 A²=A，B²=B，所以 2AB=0，所以AB=BA=0．
证毕．
点评：
本题考点：解矩阵方程．
考点点评：本题是矩阵的证明题，利用逆矩阵来求，是一道中档题．

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