解题思路：（1）根据函数的周期求出ω的值，根据函数的最大值求出A的值，根据函数过点（1，2）及∅的范围求出∅的值．
（2）由（1）知
f(x)＝1−cos2(
π
4
x+
π
4
)
且周期为4，2010=4×502+2，故 f（1）+f（2）+…+f（2010）=
f（1）+f（2）．
（3）由
g(x)＝f(x)−m−1＝−cos(
π
2
x+
π
2
)−m＝sin
π
2
x−m
在区间[1，4]上恰有一个零点知：函数
y＝sin
π
2
x
的
图象与直线恰有一个交点．在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象，结合图象可得m的取值范围．
（1）∵[T/2＝2，T＝4，ω＞0∴2ω＝
2π
T＝
π
2∴ω＝
π
4]，由于f（x）的最大值为2且A＞0，
所以[A/2+
A
2＝2，即A=2，得 f(x)＝1−cos2(
π
4x+φ)，又函数f（x）的图象过点（1，2）则cos2(
π
4+φ)＝−1∴sin2φ＝1∴2φ＝2kπ+
π
2，φ＝kπ+
π
4∵0＜φ＜
π
2∴φ＝
π
4]．
（2）由（1）知f(x)＝1−cos2(
π
4x+
π
4)且周期为4，2010=4×502+2，
∵f（1）=2，f（2）=1，f（3）=0，f（4）=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4，
故 f（1）+f（2）+…+f（2010）=502×4+f（1）+f（2）=2008+3=2011．
（3）由g(x)＝f(x)−m−1＝−cos(
π
2x+
π
2)−m＝sin
π
2x−m在区间[1，4]上恰有一个零点知：
函数y＝sin
π
2x的图象与直线y=m恰有一个交点．在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象（如图所示），
由图象可知 0＜m≤1或 m=-1，故m的取值范围是{m|0＜m≤1，或 m=-1}．
点评：
本题考点： 三角函数的最值；函数的零点；三角函数的周期性及其求法．
考点点评： 本题考查三角函数的最值，函数的零点，三角函数的周期性和求法，体现了数形结合的数学思想，求出函数f（x） 的
解析式，是解题的突破口．