Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙M过点O且与y轴、x轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C与点M

Answer 1

解题思路：（1）连接AM、BM，过点M作MD⊥x轴，ME⊥y轴，由等腰三角形的性质可得出AB两点的坐标，利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；

（2）根据点C与点M关于x轴对称，点M的坐标为（2，-2）求出点C的坐标，连接MC，OM，利用两点间的距离公式得出OM²，OC²，MC²，的值，利用勾股定理的逆定理判断出△OMC是等腰直角三角形，故可得出OM⊥OC，进而得出结论；

（3）先根据C点坐标求出直线OC的解析式，由AB两点的坐标求出直线AB的解析，由两直线的解析式得出直线AB与直线OC平行，B点即为所求点P，再分OA为平行四边形的边和对角线两种情况求出Q点的坐标即可．

（1）如图1所示：

连接AM、BM，过点M作MD⊥x轴，ME⊥y轴，

∵M（2，-2），

∴D（2，0），E（0，-2），

∴A（0，-4），B（4，0），

∴

c＝−4

16+4b+c＝0，解得

c＝−4

b＝−3，

∴抛物线的解析式为：y=x²-3x-4；

（2）相切．

证明：如图2，∵点C与点M关于x轴对称，点M的坐标为（2，-2），

∴C（2，2），

∵点C是直线OC上的点，

连接MC，OM，

∵M（2，-2），C（2，2），

∴OM²=2²+（-2）²=8，

OC²=2²+（-2）²=8，

MC²=（2-2）²+（-2-2）²=16，

∵MC²=OM²+OC²，

∴△OMC是等腰直角三角形，

∴OM⊥OC，

∴直线OC与⊙M相切；

（3）存在．

设直线OC的解析式为：y=kx（k≠0），

∵点C是直线OC上的点，

∴2=2k，解得k=1，

∴直线OC的解析式为：y=x，

∵A（0，-4），B（4，0），

连接AB，

设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），

∵A（0，-4），B（4，0），

∴

b＝−4

4k+b＝0，解得

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、平行四边形的判定定理等知识，综合性较强．