(1)设A坐标是(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)
2x=x1+x2,2y=y1+y2
y1^2=x1,y2^2=x2
(y1+y2)^2=y1^2+y2^2+2y1y2=4y^2
x1+x2+2y1y2=4y^2
y1y2=2y^2-x
y1^2-y2^2=x1-x2
AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=9
(y1-y2)^2(y1+y2)^2+(y1-y2)^2=9
(y1-y2)^2[4y^2+1]=9
[(y1+y2)^2-4y1y2][4y^2+1]=9
[4y^2-4(2y^2-x)][4y^2+1]=9
(4x-4y^2)(4y^2+1)=9
即M的轨迹方程是(4x-4y^2)(4y^2+1)=9.
因为M是AB的中点,所以M到y轴的距离等于A,B两点到y轴的距离的和的一半.因为点A在抛物线上,所以A到y轴的距离=A到焦点F（0.25,0）距离-0.25,B点也是一样.所以M到y轴距离表示为d=(AF+BF-0.5)÷2.由三角形两边和大于第三边得,当AB过点F时AF+BF最小,此时d=d(min)=(AB-0.5)÷2=1.25.