已知函数f(x)=x+2a2x-alnx(a∈R).

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  • 解题思路:(1)分类讨论,求导函数,可得函数f(x)的单调区间;(2)x∈[1,e],可得f(x)min=3-ln2,对任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2),可得x∈[1,e]时,3-ln2≥x2-2bx+4-ln2,分离参数,利用函数的单调性,即可求出实数b的取值范围.(3)当a=12时,x+12x-12lnx>32,取x=k+1k,则lnk+1k<2k−1k+1,再利用叠加法即可证明结论.

    (1)当a=0时,f(x)=x(x>0),f(x)在(0,+∞)上单调递增,

    当a>0时,f′(x)=1-

    2a2

    x2-[a/x]=

    (x+a)(x−2a)

    x2,

    ∴f(x)在(0,2a)上单调递减,在(2a,+∞)上单调递增;

    (2)当a=1时,f(x)=x+[2/x]-lnx,

    ∵x∈[1,e],∴f(x)min=3-ln2.

    ∵对任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2),

    ∴x∈[1,e]时,3-ln2≥x2-2bx+4-ln2,

    ∴x∈[1,e]时,2b≥x+[1/x]

    ∵y=x+[1/x]在[1,e]上单调递增,

    ∴b≥[e/2+

    1

    2e];

    (3)证明:当a=[1/2]时,x+[1/2x]-[1/2]lnx>[3/2],

    取x=[k+1/k],则ln[k+1/k]<[2/k−

    1

    k+1],

    ∴ln[2/1]<

    2

    1−

    1

    2,ln[3/2]<[2/2−

    1

    3],…ln

    n+1

    n<

    2

    n−

    1

    n+1,

    叠加得ln(n+1)<1+

    1

    2+

    1

    3+…+

    1

    n+

    n

    n+1.

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查导数知识的综合应用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查不等式的证明,属于中档题.