解题思路:(1)分类讨论,求导函数,可得函数f(x)的单调区间;(2)x∈[1,e],可得f(x)min=3-ln2,对任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2),可得x∈[1,e]时,3-ln2≥x2-2bx+4-ln2,分离参数,利用函数的单调性,即可求出实数b的取值范围.(3)当a=12时,x+12x-12lnx>32,取x=k+1k,则lnk+1k<2k−1k+1,再利用叠加法即可证明结论.
(1)当a=0时,f(x)=x(x>0),f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>0时,f′(x)=1-
2a2
x2-[a/x]=
(x+a)(x−2a)
x2,
∴f(x)在(0,2a)上单调递减,在(2a,+∞)上单调递增;
(2)当a=1时,f(x)=x+[2/x]-lnx,
∵x∈[1,e],∴f(x)min=3-ln2.
∵对任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2),
∴x∈[1,e]时,3-ln2≥x2-2bx+4-ln2,
∴x∈[1,e]时,2b≥x+[1/x]
∵y=x+[1/x]在[1,e]上单调递增,
∴b≥[e/2+
1
2e];
(3)证明:当a=[1/2]时,x+[1/2x]-[1/2]lnx>[3/2],
取x=[k+1/k],则ln[k+1/k]<[2/k−
1
k+1],
∴ln[2/1]<
2
1−
1
2,ln[3/2]<[2/2−
1
3],…ln
n+1
n<
2
n−
1
n+1,
叠加得ln(n+1)<1+
1
2+
1
3+…+
1
n+
n
n+1.
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查导数知识的综合应用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查不等式的证明,属于中档题.