Question

若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=______．

Answer 1

解题思路：首先，由“抛物线y=x²+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=-[b/2]时，y=0．且b²-4c=0，即b²=4c；

其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（-[b/2]-3，n），B（-[b/2]+3，n）；

最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（-[b/2]-3）²+b（-[b/2]-3）+c=

−

1

4

b²+c+9，所以把b²=4c代入即可求得n的值．

∵抛物线y=x²+bx+c与x轴只有一个交点，

∴当x=-[b/2]时，y=0．且b²-4c=0，即b²=4c．

又∵点A（m，n），B（m+6，n），

∴点A、B关于直线x=-[b/2]对称，

∴A（-[b/2]-3，n），B（-[b/2]+3，n）

将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（-[b/2]-3）²+b（-[b/2]-3）+c=−

1

4b²+c+9

∵b²=4c，

∴n=−

1

4×4c+c+9=9．

故答案是：9．

点评：

本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．

△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．

△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；

△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．