Question

已知数列{an}满足an=2an-1+1（n≥2）且a1=1，bn=log2（a2n+1+1），cn＝1b2n−1．求证

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）把已知的等式a_n=2a_n-1+1变形，得到a_n+1=2（a_n-1+1），同时求出当n=2时得到a₂+1=2（a₁+1），将a₁的值代入求出a₂+1的值，确定出数列{a_n+1}以2为首项，2为公比的等比数列，表示出等比数列的通项公式，可得出a_n的通项公式；

（Ⅱ）确定数列{c_n}的通项，利用裂项法求和，即可得出结论．

证明：（Ⅰ）∵a_n=2a_n-1+1，

∴a_n+1=2（a_n-1+1），

令n=2得：a₂+1=2（a₁+1），又a₁=1，

∴a₂+1=4，a₁+1=2，

∴数列{a_n+1}以2为首项，2为公比的等比数列，

则通项公式为a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1，…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=log₂（a_2n+1+1）=2n+1，cn＝

1

b2n−1=[1/4]（[1/n]-[1/n+1]），

所以S_n=[1/4][（1-[1/2]）+（[1/2]-[1/3]）+…+（[1/n]-[1/n+1]）]=[1/4]（1-[1/n+1]）＜[1/4]．…（12分）

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 此题考查了等比数列的性质，等比数列的通项公式，以及等比数列的确定，考查裂项法求和，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．