解题思路：由题意，X可能取值为0，1，2，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
由题意，X可能取值为0，1，2，则
P（X=0）=（1-[2/3]）（1-[4/5]）=[1/15]，P（X=1）=（1-[2/3]）×[4/5]+[2/3]×（1-[4/5]）=[2/5]，P（X=2）=[2/3]×[4/5]=[8/15]，
EX=0×[1/15]+1×[2/5]+2×[8/15]=[22/15]．
点评：
本题考点： 离散型随机变量的期望与方差．
考点点评： 本题考查求离散型随机变量的分布列以及数学期望等有关知识．求出随机变量ζ所有可能的取值的概率，是解题的难点．