Question

已知函数f（x）=lg（2x-b）（b为常数），若x≥1时，f（x）≥0恒成立，则b的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：根据题意，结合对数函数的性质得：不等式b≤2^x-1对任意x∈[1，+∞）恒成立，再由指数函数的单调性即可求出b的最大值，从而得到b的取值范围．

∵f（x）=lg（2^x-b），当x≥1时，f（x）≥0恒成立，

∴2^x-b≥1，对任意x∈[1，+∞）恒成立，即b≤2^x-1，

而x∈[1，+∞）时，t=2^x-1是增函数，得t=2^x-1的最小值为1，

由此可得b≤1，即b的取值范围是（-∞，1]

故答案为：（-∞，1]

点评：

本题考点： 对数函数的值域与最值；函数恒成立问题．

考点点评： 本题给出真数函数指数式的对数型函数，在不等式恒成立的情况下求参数b的取值范围，着重考查了基本初等函数的单调性和函数恒成立等知识点，属于基础题．