Question

在三棱锥T-ABC中,TA,TB,TC两两垂直,T在低面ABC上的正投影为D.求证：1/TD^2=1/TA^2+1/TB

Answer 1

连接CD并且延长交AB于E,由已知,AB⊥平面TCDE,∴AB⊥TE,AB⊥CE,∴TD·CE＝TC·TE,

TE·AB＝TA·TB,∴TD²·CE²＝TC²·TE²,TE²·AB²＝TA²·TB²,CE²＝TC²＋TE²,AB²＝TA²＋TB²,

∴TD²·﹙TC²＋TE²﹚＝TC²·TE²,TE²·﹙TA²＋TB²﹚＝TA²·TB²,

∴1／TD²＝1／TC²＋1／TE²,1／TE²＝1／TA²＋1／TB²,

∴1／TD²＝1／TC²＋1／TA²＋1／TB².