Question

在数列{an}中，a1=0，且对任意k∈N+，a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k．

Answer 1

解题思路：（I）由题设可知，对任意k∈N⁺，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，分别取前几个值，可得

a

6

a

5

＝

a

5

a

4

＝

3

2

；（II）由题设可得：分n为奇数和偶数分别来求，可得答案．

（I）由题设可知，a₂=a₁+2=2，a₃=a₂+2=4，a₄=a₃+4=8，a₅=a₄+4=12，a₆=a₅+6=18

从而

a6

a5＝

a5

a4＝

3

2，所以a₄，s₅，a₆成等比数列；

（II）由题设可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N^*，所以a_2k+1-a₁=（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）+…+（a₃-a₁）

=4k+4（k-1）+…+4×1=2k（k+1），由a₁=0，得 a_2k+1=2k（k+1），从而a2k＝a2k+1−2k＝2k2

所以数列{a_n}的通项公式为an＝

n2−1

2，n为奇数

n2

2，n为偶数．

点评：

本题考点： 等比关系的确定；等差数列的性质．

考点点评： 本题考查等差数列的知识，涉及等比数列的定义和分类讨论的思想，属中档题．