解方程x+1=y+yz &y+1=z+zx&z+1=x+xy 其中x y z为正实数

2个回答

  • x+1=y+yz = y(1+z)

    y+1=z+zx = z(1+x)

    z+1=x+xy = x(1+y)

    显然 x y z 具有很好的循环性.因此 不妨假设 x≥y≥z

    因为x y z为正实数,所以 1+x 1+y 1+z 均不为0.方程两端可以做同时 除以它们 的操作.

    由方程1推出 y = (x+1)/(z+1) ≥ 1 . (1)

    由方程2推出 z = (y+1)/(x+1) ≤ 1 .(2)

    由方程3推出 x = (z+1)/(y+1) ≤ 1 .(3)

    从不等式 (1) 和 (3) 推出 y ≥ x

    且已经假定限制了 x≥y≥z

    因此 x = y

    z= (y+1)/(x+1) = 1

    代入到 x+1 = y(1+z) 中,并同时代入 x=y,容易得到

    x=y=z = 1