Question

在圆O中,AB是直径,M是OB上任意一点,作∠CMB =∠DMB分别交交圆O于C,D两点,求证MC=MD

Answer 1

证明：延长CM,DM,分别交圆于E,F,

过O作OP⊥CE,OQ⊥DF,垂足为P,Q

因为∠CMB =∠DMB

所以OP=OQ（角平分线上的点到角两边的距离相等）

所以△OPM≌△OQM(AAS),

所以PM=QM,

因为OP=OQ

所以CE=BF(同圆中,相等的弦心距所对的弦相等)

所以CE/2=BF/2

即CP=DQ,

所以CP-PM=DQ-QM

即MC=MD