Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是线段BC上的一个动点（不与点B重合）．DE⊥BE于E，∠EBA= 1

Answer 1

（1）猜想BE=

1

2 FD，

证明：如图，延长CA、BE相交于G，

∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=45°，

∵∠EBA=

1

2 ∠ACB，

∴∠EBA=22.5°，

∴∠GBC=67.5°，

∴∠G=67.5°，

∴∠G=∠GBC，

∴CG=BC，

∵CE⊥BE，

∴∠ACE=

1

2 ∠ACB，BE=

1

2 BG，

∴∠ACE=∠EBA．

在△ABG和△ACF中

∠GAB=∠FAC

AB=AC

∠ABG=∠ACF ，

∴△ABG≌△ACF（ASA），

∴BG=CF

∴BE=

1

2 FC，

即BE=

1

2 FD．

（2）成立，

理由是：过D作DH ∥ CA交BA于M，交BE的延长线于H，

则∠BMD=∠A=90°，∠MDB=∠C=45°，

∴∠MBD=∠MDB=45°，

∴MB=MD，

∵∠EBA=

1

2 ∠ACB，

∴∠EBA=

1

2 ∠MDB=22.5°，

∴∠HBD=∠H=67.5°，

∴DB=DH，

∵DE⊥BE，

∴∠HDE=

1

2 ∠HDB，BE=

1

2 BH，

∴∠HBM=∠FDM，

在△HMA和△FMD中

∠BMH=∠DMF

MB=MD

∠HBM=∠FDM

∴△HMA≌△FMD（ASA）

∴BH=DF，

∴BE=

1

2 FD．