Question

已知关于x，y的方程C：x2+y2+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）先把圆的方程化为标准方程使得D²+E-4F＞0即可求得m的范围．

（Ⅱ）根据OM⊥ON，推断出x₁x₂+y₁y₂=0，利用直线与圆的方程联立，利用韦达定理分别求得x₁x₂和y₁y₂的表达式，代入即可求得m．

（1）令D²+E-4F=1+36-4M＞0，

得m＜[37/4]，

∴m的取值范围为（-∞，[37/4]）．

（ II）设M（x₁，y₂），N（x₂，y₂），

∵OM⊥ON，

∴x₁x₂+y₁y₂=0，①

由

x2+y2+x−6y+m＝0

x+2y−3＝0消x得5y²-20y+m+12=0，

△=400-20（m+12）＞0，②

y1+y2＝

m+12

5，y1+y2＝4y₁+y₂=4，y₁y₂=[m+12/5]，

又x₁x₂=（-2y₁+3）（-y₂+3）=4y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=

4

5(m+12)−15

代入①得，

4

5(m+12)−15+

m+12

5＝0，

求得m=3满足②，故为所求

点评：

本题考点： 圆的一般方程．

考点点评： 本题主要考查了圆的标准方程以及圆直线的位置关系．解题的过程中注意灵活运用韦达定理．