Question

∫∫√1-x^2-y^2/1+x^2+y^2dxdy,其中D为区域x^2+y^2≤1的二重积分计算

Answer 1

原式= ∫[0,2π] dθ ∫[0,1] √(1-r²)/(1+r²) r dr (极坐标变换)

= π ∫[0,1]√(1-r²)/(1+r²)d(r²) 令 u= r²

= π ∫[0,1] √(1-u) / √(1+u) du

= π ∫[0,1] (1-u) / √(1-u²) du

= π ∫[0,1] 1/ √(1-u²) du - π ∫[0,1] u / √(1-u²) du

= π [ arcsinu + √(1-u²) ] | [0,1]

= π²/2 - π