Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

Answer 1

解题思路：（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；

（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；

（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM²=MN•MC；代入数据可得MN•MC=BM²=8．

（1）证明：∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO．

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB．

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°．

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径．

∴PC是⊙O的切线．

（2）证明：∵AC=PC，

∴∠A=∠P，

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，

∴∠COB=∠CBO，

∴BC=OC．

∴BC=[1/2]AB．

（3）连接MA，MB，

∵点M是

AB的中点，

∴

AM＝

BM，

∴∠ACM=∠BCM．

∵∠ACM=∠ABM，

∴∠BCM=∠ABM．

∵∠BMN=∠BMC，

∴△MBN∽△MCB．

∴[BM/MC＝

MN

BM]．

∴BM²=MN•MC．

又∵AB是⊙O的直径，

AM＝

BM，

∴∠AMB=90°，AM=BM．

∵AB=4，

∴BM=2

2．

∴MN•MC=BM²=8．

点评：

本题考点： 切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．