Question

（2001•上海）已知{an}是首项为2，公比为[1/2]的等比数列，Sn为它的前n项和．

Answer 1

解题思路：（1）利用等比数列的前n项和公式分别表示出s_n与s_n+1，对比找出其关系即可；

（2）假设存在自然数c和k，利用（1）的结论及s_k的范围，推出c的可能取值，然后逐一验证即可．

解（1）由Sn＝4(1−

1

2n)，得Sn+1＝4(1−

1

2n+1)＝

1

2Sn+2(n∈N)．

（2）要使

Sk+1−c

Sk−c＞2，只要

c−(

3

2Sk−2)

c−Sk＜0．

因为Sk＝4(1−

1

2k)＜4，所以Sk−(

3

2Sk−2)＝2−

1

2Sk＞0(k∈N)，

故只要

3

2Sk−2＜c＜Sk(k∈N)．①

因为S_k+1＞S_k（k∈N），所以

3

2Sk−2≥

3

2S1−2＝1，

又S_k＜4，故要使①成立，c只能取2或3．

当c=2时，因为S₁=2，所以当k=1时，c＜S_k不成立，从而①不成立．

因为

3

2S2−2＝

5

2＞c，由S_k＜S_k+1（k∈N），得

3

2Sk−2＜

3

2Sk+1−2，所以当k≥2时，

3

2Sk−2＞c，从而①不成立．

当c=3时，因为S₁=2，S₂=3，

所以当k=1，2时，c＜S_k不成立，从而①不成立．

因为

3

2S3−2＝

13

4＞c，又

3

2Sk−2＜

3

2Sk+1−2，

所以当k≥3时，

3

2Sk−2＞c，从而

点评：

本题考点： 等比数列的前n项和．

考点点评： 本题考查了等比数列的前n项和公式以及不等式的有关知识，利用了极限思想及分类讨论的数学思想，综合性和逻辑推理性较强，难度较大．