Question

已知函数fx的导函数f’x,满足xf'x+2fx=（lnx）/x,且 f(e)=1/（2e）,则fx的单调性情况为?

Answer 1

xf'(x)+2f(x)=(lnx)/x,定义域为x＞0

===> x²*f'(x)+2xf(x)=lnx

===> [f(x)*x²]'=lnx

===> f(x)*x²=∫lnxdx=x*lnx-∫x*(1/x)dx=xlnx-x=x(lnx-1)

===> f(x)=(lnx-1)/x+C

已知f(e)=1/(2e) ===> C=1/(2e)

所以,f(x)=(lnx-1)/x+[1/(2e)]

那么,f'(x)=[(1/x)*x-(lnx-1)*1]/x²=(2-lnx)/x²

所以,当x=e²时,f'(x)=0

当x＞e²时,f'(x)＜0,f(x)单调递减；

当0＜x＜e²时,f'(x)＞0,f(x)单调递增.