设A点坐标：(x1,y1),B点坐标：(x2,y2)
可以得到：
2x1²-y1²=1……①式
2x2²-y2²=1……②式
又：y1=kx1+1,y2=kx2+2
∴由①式得：2x1²-(kx1+1)²=1
由②式得：2x2²-(kx2+1)²=1
也就是说：x1,x2是方程：2x²-(kx+1)²=1的两个根.
对2x²-(kx+1)²=1进行整理,就是：(k²-2)x²+2kx+2=0
∴x1+x2=2k/(2-k²),x1x2=2/(k²-2)
又a=√2/2,b=1 ∴c=√6/2
∴右焦点F2：(√6/2,0)
∴向量F2A：(x1-√6/2,y1),向量F2B：(x2-√6/2,y2)
∵F2在以AB为直径的圆上,就是说：F2A·F2B=0
∴F2A·F2B=(x1-√6/2)(x2-√6/2)+y1y2=0
又：y1=kx1+1,y2=kx2+1,代入上式,可得：
(k²+1)x1x2+(k-√6/2)(x1+x2)+5/2=0……③
再将x1+x2=2k/(2-k²),x1x2=2/(k²-2)代入③式,可得：
5k²+2√6k-6 = 0
解得：k=(-√6±6)/5
∵y=kx+1与双曲线右支有两个焦点,所以必有k＜0
本人注——画个图就很明显了,过(0,1)作直线与右支有两个焦点,那么k必然是小于0的；如果k大于0,那么无论如何不会与右支同时有两个交点.这里就不再证明了,嘿嘿.
∴k=(-√6-6)/5
手工计算,错了轻拍~