已知动圆C与定圆 C 3 ： x 2 +2x+ y - 知识问答

已知动圆C与定圆 C 3 ： x 2 +2x+ y 2 + 3 4 =0 相外切，与定圆 C 2

1个回答

（1）∵ C 3 ：
x 2 +2x+
y 2 +
3
4 =0 的方程可化为 (
x+1) 2 +
y 2 =(
1
2 ) 2
圆 C 2 ：
x 2 -2x+
y 2 -
45
4 =0 的方程可化为
(x-1) 2 +
y 2 = (
7
2 ) 2
设动圆C的半径为r，则
|CC₃|=
1
2 +r，|CC₂|=
7
2 -r，
∴|CC₃|+|CC₂|=4
∴C的轨迹是以C₃和C₂为焦点，长轴为4的椭圆
∴C的轨迹方程为
x 2
4 +
y 2
3 =1
（2）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
由
x 2
4 +
y 2
3 =1
y=kx+1 消去y并整理得
（3+4k²）x²+8kx-8=0
则x₁+x₂=
-8k
3+4 k 2 ，x₁•x₂=
-8
3+4 k 2
则y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=
6
3+4 k 2
则线段MN的中点P的坐标为（
-4k
3+4 k 2 ，
3
3+4 k 2 ）
由线段MN的垂直平分线过定点 G(
1
8 ，0) ，
设MN的垂直平分线l的方程为y=-
1
k （x-
1
8 ）
∵P点在l上
∴
3
3+4 k 2 =-
1
k （
-4k
3+4 k 2 -
1
8 ）
即4k²+8k+3=0
解得k= -
1
2 ，或k= -
3
2

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