（1）①当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；
②当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-
2
a ，y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；
③当a＜0时，函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，则-
2
a ≤1，解得a≤-2，
综上，a的取值范围是a≤-2；
（2）把方程
g(x)
x =f′（x）-（2a+1）整理为
lnx
x =ax+2-(2a+1) ，即方程ax 2+（1-2a）x-lnx=0，
设H（x）=ax 2+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原问题等价于函数H（x）在区间（
1
e ，e）内有且只有两个零点．
H′（x）=2ax+（1-2a）-
1
x =
2a x 2 +(1-2a)x-1
x =
(2ax+1)(x-1)
x ，令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-
1
2a （舍），
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．
H（x）在（
1
e ，e）内有且只有两个不相等的零点，只需
H(
1
e )＞0
H(x ) min ＜0
H(e)＞0 ，即
a
e 2 +
1-2a
e +1=
(1-2a)e+a+ e 2
e 2 ＞0
H(1)=a+(1-2a)=1-a＜0
a e 2 +(1-2a)e-1=( e 2 -2e)a+(e-1)＞0 ，
所以
a＜
e 2 +e
2e-1
a＞1
a＞
1-e
e 2 -2e ，解得1＜a＜
e 2 +e
2e-1 ．
所以a的取值范围是（1，
e 2 +e
2e-1 ）．