1、若忽略空气阻力,可由机械能守恒,得它落回原出发点的速度大小是V0,方向是竖直向下.
若空气阻力不能忽略,且始终为重力的三分之一,f ＝mg / 3
在上升阶段,加速度大小是 a1＝（mg＋f）/ m＝4 g / 3
物体上升的最大高度是 H,由 0＝V0^2－2*a1*H 得
H＝V0^2 / (2*a1)＝3*V0^2 / (8g)
在下落阶段,加速度大小是 a2＝（mg－f ）/ m＝2 g / 3
下落阶段的距离也是H,落回原出发点的速度大小设为 V ,由 V^2＝2*a2*H 得
V＝根号（2*a2*H）＝根号 { 2*(2 g / 3)*[ 3*V0^2 / (8g) ] }＝V0 / (根号2)＝V0 * (根号2) / 2
2、θ＝45度,物体向上滑的初速设为V0
物体向上滑时,受重力mg、支持力N、滑动摩擦力 f（沿斜面向下）
向上滑动的加速度大小是 a1＝（mg*sinθ＋µ*mg*cosθ）/ m＝g*（sinθ＋µ*cosθ）
向上滑行的最大距离设为S
由 0＝V0^2－2*a1*S 得
S＝V0^2 / (2*a1)＝V0^2 / [g*（sinθ＋µ*cosθ）]
由 S＝V上平*t1＝（V0 / 2）*t1 得
t1＝2*S / V0＝2*V0 / [g*（sinθ＋µ*cosθ）]
物体从最高点再下滑时,受重力mg、支持力N、滑动摩擦力 f（沿斜面向上）
向下滑行的加速度是 a2＝（mg*sinθ－µ*mg*cosθ）/ m＝g*（sinθ－µ*cosθ）
由 S＝a2*t2^2 / 2 得
V0^2 / [g*（sinθ＋µ*cosθ）]＝g*（sinθ－µ*cosθ）*t2^2 / 2
得 t2＝(V0 / g) *根号{ 2 / [ (sinθ)^2－(µ*cosθ)^2 ] }
所求的比值是
t1 / t2＝{ 2*V0 / [g*（sinθ＋µ*cosθ）] } / 《(V0 / g) *根号{ 2 / [ (sinθ)^2－(µ*cosθ)^2 ] }》
＝根号｛2*[sinθ－µ*cosθ] / [sinθ＋µ*cosθ] }
＝根号｛2*[sin45度－µ*cos45度] / [sin45度＋µ*cos45度] }
＝根号[2*（1－µ）/（1＋µ）]