Question

已知定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x＜0时，f（x）满足2f（x）+xf′（x）＜x，则f（x）在R

Answer 1

解题思路：可构造函数g（x）=x²f（x），利用导数判断其单调性，结合函数为奇函数，即可得出结论．

令g（x）=x²f（x），则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，

∵当x＜0时，f（x）满足：2f（x）+xf′（x）＜x，

∴g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]＞x²＞0，

∴当x＜0时，g（x）为减函数，

则g（x）＞g（0）=0，

∴f（x）＞0，

又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，

∴当x＞0时，f（x）＜0，

∴f（x）在R上只有一个零点为x=0．

故选：A．

点评：

本题考点： 导数的运算；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题主要考查利用构造函数法判断函数零点的知识，合理的构造函数是解决问题的关键．