Question

正方形ABCD中,E为AD的中点,EF垂直于BE交于F,求证三角形ABE相似于三角形BEF

Answer 1

证明：

∵BE⊥EF,

∴∠BEF=90°,

∴∠DEF+∠AEB=90°,

∵∠AEB+∠ABE=90°,

∴∠DEF=∠ABE,

又∵∠A=∠D=90°,

∴△ABE∽△DEF,

∴AB/AE=DE/DF,

∵E是AD的中点,

∴DF=(1/2)DE=(1/4)CD,

∴BE=√(AB²+AE²)=(√5/2)AB,EF=√(DE²+DF²)=(√5/4)AB,

∴BE/EF=2/1=AB/AE,

又∵∠BAE=∠BEF=90°,

∴△ABE∽△EBF,

得证!