Question

设数列{an}是有穷等差数列，给出下面数表：

Answer 1

解题思路：（1）由题设易知，b₁=

a

1

+

a

n

2

，b₂=a₁+a_n，容易得

b

k

＝

c

1

+

c

n−k+1

2

，b_k+1=c₁+c_n-k+1，于是

b

k+1

b

k

＝2

，可证明

（2）由（1）求，

b

k

＝

b

1

•

2

k−1

=

a

1

+

a

2

2

•

2

k−1

，则a_k=2k-1时，a_kb_k=（2k-1）•2^k-1，利用错位相减可求数列的和

（1）证明：由题设易知，b1＝

n(a1+an)

2n=

a1+an

2，

b2＝

(n−1)(a1+a2+…+ an)

2(n−1)=

a1+a2+…+an

2＝a1+an．

设表中的第k（1≤k≤n-1）行的数为c₁，c₂…c_n-k+1，显然c₁，c₂…c_n-k+1，成等差数列，则它的第k+1行的数是c₁+c₂，c₂+c₃…c_n-k+c_n-k+1也成等差数列，它们的平均数分别是bk＝

c1+cn−k+1

2，b_k+1=c₁+c_n-k+1，于是

bk+1

bk＝2（1≤k≤n-1，k∈N^*）．

故数列b₁，b₂…b_n是公比为2的等比数列．（7分）

（2）由（1）知，bk＝b1•2k−1=

a1+a2

2•2k−1，

故当a_k=2k-1时，bk＝n•2k−1，akbk＝n(2k−1)•2k−1．

于是

n

k＝1akbkn

n

k＝1(2k−1)•2k−1． 　　　　　　　　　　　（9分）

设S＝

n

k＝1(2k−1)•2k−1，

则S=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1①

2S=1•2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ②

①-②得，-S=1×2⁰+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，

化简得，S=（2n-1）•2ⁿ-2ⁿ⁺¹+3，

故

n

点评：

本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．

考点点评： 本题主要考查了等比数列的定义在等比数列的证明中的应用，错位相减求解数列的和，解题的关键需要由已只条件中的信息提炼出相关的递推关系