解题思路：（1）根据函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义，即可判断f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）＞0在定义域上恒成立，建立等价条件，即可求a的取值范围．
（1）要使函数有意义，则ax-1≠0，即x≠0，∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
（2）∵函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
∴定义域关于原点对称，
则f（x）=（[1
ax−1+
1/2]）•x3=
ax+1
2(ax−1)•x3，
∴f（-x）=
a−x+1
2(a−x−1)•(−x)3=-
1+ax
2(1−ax)•(−x3)=
ax+1
2(ax−1)•x3=f（x），
∴f（x）是偶函数；
（3）∵f（x）是偶函数；
∴f（x）＞0在定义域上恒成立，
则只需要当x＞0时，f（x）＞0恒成立即可，
即f（x）=
ax+1
2(ax−1)•x3＞0即可，
∴ax-1＞0，
即ax＞1，
∵x＞0，
∴a＞1，
即求a的取值范围是a＞1．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．
考点点评： 本题主要考查函数定义域以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数的性质．