假设存在这样的整数x,y,z使得x^2 + y^2 + z^2 = 999,那么
从奇偶性角度来说,x,y,z不可能同为偶数,也不可能仅有一个为偶数（因为等式右边的999是奇数）,那么就只可能有以下两种情况：
1）x,y,z中有两个数是偶数,一个数是奇数；
2）x,y,z三个数全为奇数.
对于第一种情况,不妨设x和y为偶数,z为奇数,那么可以设x = 2a,y = 2b,z = 2c + 1（a,b,c∈Z）,从而x^2 + y^2 + z^2 = (2a)^2 + (2b)^2 + (2c+1)^2 = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 4c + 1 = 999,那么4(a^2 + b^2 + c^2 + c) = 998,即a^2 + b^2 + c^2 + c = 249.5,这与a,b,c∈Z矛盾；
对于第二种情况,可以设x = 2a + 1,y = 2b + 1,z = 2c + 1（a,b,c∈Z）,从而x^2 + y^2 + z^2 = (2a + 1)^2 + (2b + 1)^2 + (2c + 1)^2 = 4a^2 + 4a + 4b^2 + 4b + 4c^2 + 4c + 3 = 999,即
4a(a + 1) + 4b(b + 1) + 4c(c + 1) = 996,故a(a + 1) + b(b + 1) + c(c + 1) = 249,注意到
a与a + 1是连续的整数,其乘积a(a + 1)必为偶数,同理b(b + 1)和c(c + 1) 也为偶数,因此
a(a + 1) + b(b + 1) + c(c + 1)的结果应该是偶数,但等式的右边249却是一个奇数,这说明该式不成立.
上述两种情况均得到与事实相违背的结论,这说明最开始的假设是错误的,不存在整数x,y,z使得x^2 + y^2 + z^2 = 999.