如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,对称轴为x=2的抛物线y=ax2+bx+c经过

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  • 解题思路:(1)根据直线的解析式可以求出A点B点的坐标,然后根据对称轴和A点坐标及抛物线的对称性可以求出C点的坐标,再根据ABC的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式,最后化成顶点式就可以求出顶点坐标.

    (2)①根据轴对称求出M′的坐标,将该坐标代入直线的解析式判断M′是否在直线上,使问题解决.

    ②根据平行四边形的性质分两种情况;当MM′是对角线和是边时两种不同的情况求出P点的相应坐标.

    (1)当x=0时,y=-0+3,则y=3

    ∴B(0,3)

    当y=0时,0=-x+3,则x=3

    ∴A(3,0)

    设对称轴与x轴相交于点H,

    ∴H(2,0)

    ∴AH=1

    根据抛物线的对称性可知CH=1

    ∴OC=1

    ∴C(1,0)

    3=c

    0=9a+3b+c

    0=a+b+c解得

    a=1

    b=−4

    c=3

    抛物线的解析式为:y=x2-4x+3

    y=(x-2)2-1

    ∴M(2,-1)

    (2)①∵点M与点M′关于x轴对称

    ∴M′(2,1)

    ∴MM′=2

    当x=2时,y=-2+3=1,

    ∴M′在直线AB上

    ②存在,

    当以MM′为四边形的对角线时,

    ∵HM=HM′=1,CH=AH=1

    ∴四边形CMAM′是平行四边形,此时P、Q分别于A、C重合

    ∴P(3,0)

    当以MM′为边时

    要使以点P、Q、M、M′为顶点的四边形是平行四边形

    ∴PQ∥MM′,PQ=MM′

    ∵P、Q是直线AB和(1)抛物线上的动点

    ∴P、Q的坐标分别为(m,-m+3)(m,m2-4m+3)

    ∴PQ=MM′=2

    ∴|m2-4m+3-(-m+3)|=2

    ∴m2-3m=±2

    由m2-3m=2得m=

    17

    2

    ∴P(

    3+

    17

    2,

    3−

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题是一道二次函数的综合试题,考查了待定系数法求抛物线的解析式,抛物线的图象特征的运用,轴对称的性质,平行四边形的性质与判定.