解题思路:(1)根据直线的解析式可以求出A点B点的坐标,然后根据对称轴和A点坐标及抛物线的对称性可以求出C点的坐标,再根据ABC的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式,最后化成顶点式就可以求出顶点坐标.
(2)①根据轴对称求出M′的坐标,将该坐标代入直线的解析式判断M′是否在直线上,使问题解决.
②根据平行四边形的性质分两种情况;当MM′是对角线和是边时两种不同的情况求出P点的相应坐标.
(1)当x=0时,y=-0+3,则y=3
∴B(0,3)
当y=0时,0=-x+3,则x=3
∴A(3,0)
设对称轴与x轴相交于点H,
∴H(2,0)
∴AH=1
根据抛物线的对称性可知CH=1
∴OC=1
∴C(1,0)
3=c
0=9a+3b+c
0=a+b+c解得
a=1
b=−4
c=3
抛物线的解析式为:y=x2-4x+3
y=(x-2)2-1
∴M(2,-1)
(2)①∵点M与点M′关于x轴对称
∴M′(2,1)
∴MM′=2
当x=2时,y=-2+3=1,
∴M′在直线AB上
②存在,
当以MM′为四边形的对角线时,
∵HM=HM′=1,CH=AH=1
∴四边形CMAM′是平行四边形,此时P、Q分别于A、C重合
∴P(3,0)
当以MM′为边时
要使以点P、Q、M、M′为顶点的四边形是平行四边形
∴PQ∥MM′,PQ=MM′
∵P、Q是直线AB和(1)抛物线上的动点
∴P、Q的坐标分别为(m,-m+3)(m,m2-4m+3)
∴PQ=MM′=2
∴|m2-4m+3-(-m+3)|=2
∴m2-3m=±2
由m2-3m=2得m=
3±
17
2
∴P(
3+
17
2,
3−
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 本题是一道二次函数的综合试题,考查了待定系数法求抛物线的解析式,抛物线的图象特征的运用,轴对称的性质,平行四边形的性质与判定.