抛物线y²=4x上两个动点B、C和点A(1,2),且﹤BAC=90º则动直线BC必过定点( )

1个回答

  • 直线BC经过定点(5,-2)

    设 :抛物线 y^2=2px

    设:A(x0,y0) ,B(x1,y1),C(x2,y2)

    AB的斜率为2p/(y0+y1)

    AC的斜率为2p/(y0+y2)

    AB与AC垂直,故有 (y0+y1)(y0+y2) = -4p^2

    得:(y1+y2) y0+y1*y2= -4p^2 -y0^2= -4p^2 -2px0=-2p(2p+x0)

    而直线BC的方程为 2px - (y1+y2)y +y1y2 = 0

    取y=-y0 代入 得 2px -2p(2p+x0)= 0

    解得:x=2p+x0

    故直线BC经过定点 (2p+x0,-y0)

    2p=4,(x0,y0)=(1,2)

    故直线BC经过定点(5,-2)

    本题与焦点和顶点无关,不适合用纯几何及定义求解,且代数方法很简单!

    基础知识:

    经过抛物线 y^2=2px上的两点(x1,y1),(x2,y2)的直线的方程为:

    2px - (y1+y2)y +y1y2 = 0

    ( 把(y-y1)(y-y2)=0展开后的y^2换成2px就可以了,想一想会懂的,记住很重要!)

    直线的斜率为k=(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)

    (自己可以用数字求解,这里给出更一般结论,填空题记住结论就可以了!)

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