直线BC经过定点(5,-2)
设 :抛物线 y^2=2px
设:A(x0,y0) ,B(x1,y1),C(x2,y2)
AB的斜率为2p/(y0+y1)
AC的斜率为2p/(y0+y2)
AB与AC垂直,故有 (y0+y1)(y0+y2) = -4p^2
得:(y1+y2) y0+y1*y2= -4p^2 -y0^2= -4p^2 -2px0=-2p(2p+x0)
而直线BC的方程为 2px - (y1+y2)y +y1y2 = 0
取y=-y0 代入 得 2px -2p(2p+x0)= 0
解得:x=2p+x0
故直线BC经过定点 (2p+x0,-y0)
2p=4,(x0,y0)=(1,2)
故直线BC经过定点(5,-2)
本题与焦点和顶点无关,不适合用纯几何及定义求解,且代数方法很简单!
基础知识:
经过抛物线 y^2=2px上的两点(x1,y1),(x2,y2)的直线的方程为:
2px - (y1+y2)y +y1y2 = 0
( 把(y-y1)(y-y2)=0展开后的y^2换成2px就可以了,想一想会懂的,记住很重要!)
直线的斜率为k=(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)
(自己可以用数字求解,这里给出更一般结论,填空题记住结论就可以了!)
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