设f(x,y)与φ(x,y)均为可微函数,且φy′(x,y)≠0,已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件φ(x,y)

1个回答

  • 解题思路:本题为求二元函数的极值点的问题,通过构建拉格朗日函数F=f(x,y)+λφ(x,y).根据拉格朗日函数极值点的条件即可求解.

    根据题意,可以构建拉格朗日函数:

    F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)

    M(x0,y0)是f(x,y)在约束条件下φ(x,y)=0下的一个极值点,

    根据拉格朗日函数极值点的条件,在(x0,y0)处要满足:

    Fx′=0

    Fy′=0

    Fλ′=0

    即:

    Fx′=fx′(x0,y0)+λφx′(x0,y0)=0;

    Fy′=fy′(x0,y0)+λφy′(x0,y0)=0;

    因为:φy′(x0,y0)≠0;于是根据Fy′=fy′(x0,y0)+λφy′(x0,y0)=0,可以解得:

    λ=-

    fy′(x0,y0)

    φy′(x0,y0)

    将λ=-

    fy′(x0,y0)

    φy′(x0,y0)代入Fx′=fx′(x0,y0)+λφx′(x0,y0)=0,得:

    fx′(x0,y0)-

    fy′(x0,y0)

    φy′(x0,y0)φx′(x0,y0)=0

    即:fx′(x0,y0)=

    fy′(x0,y0)

    φy′(x0,y0)φx′(x0,y0

    当fx′(x0,y0)=0时,有φx′(x0,y0)=0或者fy′(x0,y0)=0;

    当fx′(x0,y0)≠0时,有:φx′(x0,y0)fy′(x0,y0)≠0,则必有:φx′(x0,y0)≠0且fy′(x0,y0)≠0.

    A选项为当fx′(x0,y0)=0时,fy′(x0,y0)可能等于0,而不是一定等于0,故A不对.

    B选项为当fx′(x0,y0)=0时,fy′(x0,y0)可能不等于0,而不是一定不等于0,故B不对.

    C选项为当fx′(x0,y0)≠0时,fy′(x0,y0)必不等于0,故C不对.

    D选项为当fx′(x0,y0)≠0时,fy′(x0,y0)必不等于0,故D对.

    故选:D.

    点评:

    本题考点: 利用拉格朗日乘数法求条件极值.

    考点点评: 本题主要考察拉格朗日函数在求二元函数极值中的应用.通过构建拉格朗日函数在求多元函数极值,是一种很常见的方法,考生需要完全掌握.