解题思路:本题为求二元函数的极值点的问题,通过构建拉格朗日函数F=f(x,y)+λφ(x,y).根据拉格朗日函数极值点的条件即可求解.
根据题意,可以构建拉格朗日函数:
F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)
M(x0,y0)是f(x,y)在约束条件下φ(x,y)=0下的一个极值点,
根据拉格朗日函数极值点的条件,在(x0,y0)处要满足:
Fx′=0
Fy′=0
Fλ′=0
即:
Fx′=fx′(x0,y0)+λφx′(x0,y0)=0;
Fy′=fy′(x0,y0)+λφy′(x0,y0)=0;
因为:φy′(x0,y0)≠0;于是根据Fy′=fy′(x0,y0)+λφy′(x0,y0)=0,可以解得:
λ=-
fy′(x0,y0)
φy′(x0,y0)
将λ=-
fy′(x0,y0)
φy′(x0,y0)代入Fx′=fx′(x0,y0)+λφx′(x0,y0)=0,得:
fx′(x0,y0)-
fy′(x0,y0)
φy′(x0,y0)φx′(x0,y0)=0
即:fx′(x0,y0)=
fy′(x0,y0)
φy′(x0,y0)φx′(x0,y0)
当fx′(x0,y0)=0时,有φx′(x0,y0)=0或者fy′(x0,y0)=0;
当fx′(x0,y0)≠0时,有:φx′(x0,y0)fy′(x0,y0)≠0,则必有:φx′(x0,y0)≠0且fy′(x0,y0)≠0.
A选项为当fx′(x0,y0)=0时,fy′(x0,y0)可能等于0,而不是一定等于0,故A不对.
B选项为当fx′(x0,y0)=0时,fy′(x0,y0)可能不等于0,而不是一定不等于0,故B不对.
C选项为当fx′(x0,y0)≠0时,fy′(x0,y0)必不等于0,故C不对.
D选项为当fx′(x0,y0)≠0时,fy′(x0,y0)必不等于0,故D对.
故选:D.
点评:
本题考点: 利用拉格朗日乘数法求条件极值.
考点点评: 本题主要考察拉格朗日函数在求二元函数极值中的应用.通过构建拉格朗日函数在求多元函数极值,是一种很常见的方法,考生需要完全掌握.