Question

（2014•青岛模拟）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（

Answer 1

解题思路：（1）相等，由S=S_△EGH-S_△ECP-S_△CGM=S′=S_△EGF-S_△ECN-S_△CGQ求解即可．

（2）设AE=x，可求出EC的长，利用三角函数求出PC与CM的值，根据矩形的面积公式即可得出S，x的函数关系式．然后根据函数的性质可得出S的最大值及对应的x的值．

（3）本题要分两种情况进行讨论：①当EC=BC=4时，即x=1时，△BEC是等腰三角形．②当BE=EC=[5/2]时，即x=[5/2]时，△BEC是等腰三角形．

（1）相等．

理由为：∵四边形ABCD、EFGH是矩形，

∴S_△EGH=S_△EGF，S_△ECN=S_△ECP，S_△CGQ=S_△CGM

∴S_△EGH-S_△ECP-S_△CGM=S_△EGF-S_△ECN-S_△CGQ，即S=S′．

（2）如图1，

∵AB=3，BC=4，

∴AC=

AB2+BC2=

32+42=5，

设AE=x，则EC=5-x，

∵sin∠PEC=sin∠DAC=[3/5]，cos∠PEC=cos∠DAC=[4/5]，

∴PC=[3/5]（5-x），MC=4-EP=4-[4/5]（5-x）=[4/5]x，

所以S=PC•MC=[12/25]x（5-x），

即S=-[12/25]x²+[12/5]x，（0≤x≤5）

配方得：S=-[12/25]（x-[5/2]）²+3，

所以当x=[5/2]时，S有最大值3．

（3）①如图2，当EC=BC=4时，即x=1时，△BEC是等腰三角形．

②如图3，当BE=EC=[5/2]时，即x=[5/2]时，△BEC是等腰三角形．

点评：

本题考点： 四边形综合题．

考点点评： 本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形、二次函数的应用、等腰三角形的判定等知识点．解题的关键在讨论时不要漏解．