例1 已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1,Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.
证明 △=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有实根,
必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra）,代入①,得
△ =（Pc+Ra）2-4ac
=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac
=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.
∵（Pc-Ra）2≥0,又PR＞1,a≠0,
（1）当ac≥0时,有△≥0；
（2）当ac＜0时,有△=（2b）2-4ac＞0.
（1）、（2）证明了△≥0,故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.
求证：对任一矩形A,总存在一个矩形B,使得矩形A和矩形B的周长和面积比都等于常数k（k≥1）.
分析 设矩形A及B的长度分别是a,b及x,y,为证明满足条件的矩形B存在,只须证明方程组
（k,a,b为已知数）
有正整数解即可.
再由韦达定理,其解x,y可以看作是二次方程
z2-k（a+b）z+kab=0的两根.
∵k≥1,故判别式
△ =k2（a+b）2-4kab
≥k2（a+b）2-4k2ab
=k2（a-b）2≥0,
∴上述二次方程有两实根z1,z2.
又z1+z2=k（a+b）＞0,z1z2=kab＞0,
从而,z1＞0,z2＞0,即方程组恒有x＞0,y＞0的解,所以矩形B总是存在的.