已知互不相等的实数a,b,c满足a+1b=b+1c=c+1a=t,则t=______.

2个回答

  • 解题思路:首先设a+[1/b]=t,可得b=[1/t−a],代入b+[1/c]=t,整理可得ct2-(ac+1)t+(a-c)=0 ①,又由c+[1/a]=t,可得ac+1=at②,将②代入①,即可得(c-a)(t2-1)=0,又由实数a,b,c互不相等,即可求得答案.

    设a+[1/b]=t,

    则b=[1/t−a],

    代入b+[1/c]=t,得:[1/t−a]+[1/c]=t,

    整理得:ct2-(ac+1)t+(a-c)=0 ①

    又由c+[1/a]=t,可得ac+1=at②,

    把②代入①式得ct2-at2+(a-c)=0,

    即(c-a)(t2-1)=0,

    又∵c≠a,

    ∴t2-1=0,

    ∴t=±1.

    验证可知:b=[1/1−a],c=[a−1/a]时,t=1; b=-[1/1+a],c=-[a+1/a]时,t=-1.

    ∴t=±1.

    故答案为:±1.

    点评:

    本题考点: 对称式和轮换对称式.

    考点点评: 此题考查了对称式和轮换对称式的知识.此题难度比较大,注意设a+[1/b]=t,从而得到方程ct2-(ac+1)t+(a-c)=0 ①与ac+1=at②是解此题的关键.