为简述方便
记∠BAD=∠CAD=∠1;∠ABE=∠CBE=∠2;∠BCF=∠ACF=∠3
(1)
在大△ABC中根据三角形内角和为180°可得
2∠1+2∠2+2∠3=180°
所以∠1+∠2+∠3=90°
那么在△ABC中,∠BAC=2∠1
同样地,在△BOC中,∠BOC=180°-∠2-∠3=90°+∠1
∠BOC-∠BAC=90°+∠1-2∠1=90°-∠1=∠2+∠3＞0
∠BOC+∠BAC=90°+∠1+2∠1=90°+3∠1不满足普通情况下的互补关系（绝对不互余）
当且仅当∠1=30°,也即∠BAC=60°时,∠BOC和∠BAC互补.
所以∠BOC＞∠BAC,当且仅当∠BAC=60°时,∠BOC和∠BAC互补、
(2)
①如果AB＞AC,即D点比H点更接近B点(点顺序为B,D,H,C)
∵∠BOD为△AOB中∠AOB的外角
∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=∠1+∠2
∵OH⊥HC
∴∠COH=90°-∠HCO=90°-∠3
∴∠BOD-∠COH=(∠1+∠2+∠3)-90°
=90°-90°=0°
所以∠BOD=∠COH
②如果AB=AC,则H,D重合
则△ABC为等腰三角形
则∠2=∠3
很显然∠BOD(∠BOH)=90°-∠2
∠COH(∠COD)=90°-∠3
∠BOD=∠COH
③如果AB＜AC,即H点比D点更接近B点(点顺序为B,H,D,C)
只需要先证明∠BOH=∠COD(证法同①)
那么∠BOD=∠BOH+∠HOD,∠COH=∠COD+∠HOD
很显然∠BOD=∠COH
(3)
∠AOC>∠ABC(同样地,也有当且仅当∠ABC=60°时,∠AOC和∠ABC互补)
∠AOB>∠ACB(同样地,也有当且仅当∠ACB=60°时,∠AOB和∠ACB互补)
过O作AB,AC的垂线OM,ON分别交AB,AC于M,N
同样可以得出∠AOM=∠BOF,∠AON=∠COE