Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于

Answer 1

解题思路：（1）如答图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；

（2）AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG²=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；

证明：（Ⅰ）连接OG，如下图所示：

∵EF为⊙O的切线，

∴OG⊥EF，

∴∠OGA+∠KGE=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠OAG+∠HKA=90°，

∵OA=OG，

∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠HKA=∠GKE，

∴KE=GE．（5分）

（Ⅱ）连接DG，BC，

∵KG²=KD•GE，

∴[KG/KD＝

KE

KG]，

∵∠DKG=∠GKE，

∴△KDG∽△KGE

∴∠AGD=∠E，

又∵∠AGD=∠ACD，

∴∠ACD=∠E．

∴AC∥EF．（10分）

点评：

本题考点： 相似三角形的判定．

考点点评： 此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．