Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的动直线ι交抛物线与A，B两点．

Answer 1

（1）由题意知：抛物线方程为：y ²=4x且P（-1，0），

设A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂），

由已知直线l斜率存在，设l：y=k（x+1）（k≠0），代入y ²=4x得，k ²x ²+（2k ²-4）x+k ²=0，

由△＞0得-1＜k＜1，

x 1 + x 2 =-

2 k 2 -4

k 2

x 1 x 2 =1 ，

|AB|=

1+ k 2 •

( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 ，h=

|k|

1+ k 2 ，

由

1

2 |AB|h =

5

2 ，得k= ±

4

41

41 ，满足△＞0，

（2）假设存在T（a，0）满足题意，

因为TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，

所以直线TA，TB的斜率之和为0，则

k AT + k BT =

y 1

x 1 -a +

y 2

x 2 -a =

k( x 1 +1)( x 2 -a)+k( x 2 +1)( x 1 -a)

( x 1 -a)( x 2 -a)

=

k[2 x 1 x 2 -(a-1)( x 1 + x 2 )-2a]

( x 1 -a)( x 2 -a) =0，

∴k[2x ₁x ₂-（a-1）（x ₁+x ₂）-2a]=0，即 k[2-(a-1)

4-2 k 2

k 2 -2a]=0 ，

整理得：a-1=0，解得a=1，

∴存在T（1，0）．