Question

已知数列{an}满足a1=0,a2=2 ,且对任意m,n∈N* 都有a(2m-1)+a(2n-1)=2a(m+n-1)+

Answer 1

(1)应证明 a(n+1)-an=2n

(1)

对任意m,n∈N* 都有a(2m-1)+a(2n-1)=2a(m+n-1)+2(m-n)^2

又a1=0.a2=2

取m=2,n=1

a3+a1=2a2+2(2-1)^2

a3=2a2-a1+2=6

取m=1,

则 a1+a(2n-1)=2an+2(n-1)^2

a(2n-1)=2an+2(n-1)^2 ①

取m=2,

则a3+a(2n-1)=2a(n+1)+2(2-n)^2

a(2n-1)=2a(n+1)+2(n-2)^2-6 ②

②-①:2a(n+1)-2an+2(n-2)^2-2(n-1)^2-6=0

∴ 2a(n+1)-2an-4n=0

∴a(n+1)-an=2n

(2)

n≥2时,

a2-a1=2

a3-a2=4

a4-a3=6

.

an-a(n-1)=2(n-1)

将上面(n-1)个等式两边相加

an-a1=2+4+6+.+2(n-1)=[2+2(n-1)]*(n-1)/2

an=n(n-1)

当n=1时,上式仍成立

∴an=n²-n (n∈N*)