Question

（2014•嘉兴二模）已知数列{an}的前n项和Sn=n（n-6），数列{bn}满足b2=3，bn+1=3bn（n∈N*

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，验证n=1，可求数列{a_n}的通项的公式；利用b_n+1=3b_n，可得{b_n}的通项的公式

（Ⅱ）利用错位相减法求数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，从而可求T_n＜2014时n的最大值．

（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-7，

又a₁=S₁=-5=2×1-7，∴a_n=2n-7．

又b_n+1=3b_n，所以{b_n}是公比为3的等比数列，bn＝3n−1．

（Ⅱ）T_n=（-5）•1+（-3）•3+…+（2n-7）•3^n-1①，

3T_n=（-5）•3+（-3）•3²+…+（2n-7）•3ⁿ②

①-②得，−2Tn＝(−5)•1+2•3+2•32+…+2•3n−1−(2n−7)•3n

=−5+

6(1−3n−1)

1−3−(2n−7)•3n=-8+3ⁿ-（2n-7）•3ⁿ=-8-（2n-8）•3ⁿ．

所以Tn＝(n−4)•3n+4．

由Tn＝(n−4)•3n+4＜2014得n≤6，

所以n的最大值为6．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题综合考查了等差数列与等比数列的性质的综合应用，考查错位相减法，考查学生的计算能力，属于中档题．