Question

设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（　　）

Answer 1

解题思路：A，B的行列向量组是否线性相关，可从A，B是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论．

方法一：

设A为m×n矩阵，B 为n×s矩阵，

则由AB=O知：r（A）+r（B）≤n，

又A，B为非零矩阵，则：

必有rank（A）＞0，rank（B）＞0，

可见：rank（A）＜n，rank（B）＜n，

即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，

故选：A．

方法二：

由AB=O知：B的每一列均为Ax=0的解，

又∵B为非零矩阵，

∴Ax=0存在非零解，

从而：A的列向量组线性相关．

同理，由AB=O知，B^TA^T=O，

有：B^T的列向量组线性相关，

所以B的行向量组线性相关，

故选A．

点评：

本题考点： 向量组线性相关的判别．

考点点评： AB=O是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：1）AB=O⇒r（A）+r（B）≤n； 2）AB=O⇒B的每列均为Ax=0的解．