Question

数列{an}满足a1=[3/2]，an+1=an2-an+1（n∈N*），则m=[1a1+1a2+…+1a2014的整数

Answer 1

解题思路：由题设知

1

a

n

−1

−

1

a

n+1

−1

＝

1

a

n

，通过累加，得m=

1

a

1

+

1

a

2

+…+

1

a

2014

=

1

a

1

−1

=2-

1

a

2015

−1

．由此能求出m的整数部分．

由题设知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），

∴

1

an+1−1=

1

an(an−1)=

1

an−1−

1

an，

∴

1

an−1−

1

an+1−1＝

1

an，

通过累加，得

m=

1

a1+

1

a2+…+

1

a2014=

1

a1−1=2-

1

a2015−1．

由a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0，

即a_n+1≥a_n，

由a1＝

3/2]，a2＝

7

4，a₃=[37/16]．

∴a₂₀₁₅≥a₂₀₁₄≥a₂₀₁₃≥…≥a₃＞2，

∴a₂₀₀₅-1＞1，

∴0＜

1

a2015−1＜1，

∴1＜m＜2，

所以m的整数部分为1．

故选B．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式．