Question

已知函数f（x）=mx+[1/nx]+[1/2]（m，n是常数），且f（1）=2，f（2）=[11/4]．

Answer 1

解题思路：本题（1）根据条件得到参数的两个方程，解方程组得到本题结论；（2）利用函数单调定义加以证明，得到本题结论；（3）利用函数的单调性，得到相应的自变量的大小关系，解不等式得到本题结论．

（1）∵f(1)＝m+

1

n+

1

2＝2f(2)＝2m+

1

2n+

1

2＝

11

4，

∴

m＝1

n＝2．

（2）结论：f（x）在[1，+∞）上单调递增．下面证明．

证明：设1≤x₁＜x₂，

f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

2x1+

1

2−(x2+

1

2x2+

1

2)

=(x1−x2)(1−

1

2x1x2)

=(x1−x2)(

2x1x2−1

2x1x2)，

∵1≤x₁＜x₂，

∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，

∴2x₁x₂＞1，

∴f（x₁）-f（x₂）＞0，

即f（x₁）＜f（x₂），

∴f（x）在[1，+∞）上单调递增．

（3）∵1+2x²≥1，x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，

∴只须1+2x²＞x²-2x+4，

∴x²+2x-3＞0，

∴x＜-3或x＞1．

∴实数x的取值范围是：x＜-3或x＞1．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查了函数的解析式、函数的单调性定义和应用，本题难度不大，属于基础题．