解题思路：（1）连接OC，利用AB是⊙O的直径，得出∠ACB=∠FCG=90°，再由P是GF的中点，在Rt△FCG中得出∠PCG=∠PGC，然后利用角的关系得出PC是⊙O的切线；（2）连接OE，交AC于点M，由AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，得出AD＝DE，由AC=DE，可得出AE＝EC，得出△AOM是等腰直角三角形，可求出OM，因为OH=OM所以求出OM即可．
（1）如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠FCG=90°，
∵P是GF的中点，
∴PC=PF=PG，
∴∠PCG=∠PGC，
∵∠PGC=∠HGA，DE⊥AB
∴∠A+∠HGA=90°，
∴∠A+∠PGC=90°，
∵∠A=∠ACO，
∴∠ACO+∠HGA=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）如图2，连接OE，交AC于点M，
∵AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，
∴
AD＝
AE，
∵
AC=
DE，
∴
AE＝
EC，
∴OE⊥AC，
∴∠OMA=90°，
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠AOM=45°，
∵AO=1，
∴OM=
2
2，
∵
AC=
DE，
∴AC=DE，OH=OM，
∴OH=OM=
2
2．
点评：
本题考点： 切线的判定．
考点点评： 本题主要考查了切线的判定，解题的关键是正确作出辅助线利用圆的有关知识求解．