(a) field (of sets)只要求对有限次的交,并,补运算封闭,σ-field则要求可数次交,并.
(b) 这个问题我觉得见仁见智吧.
个人理解是为了理论需要,对应于在数学分析中允许进行可数次加法运算(级数).
反过来说,如果计算能力局限于有限次运算,那需要的就是域的概念.
(c) 既然是有限集,可数并排除重复的以后就是有限并,所以当然是一样的.
(d) 可以取S为整数集,A由S的全体有限子集和它们的余集组成.
可以验证A是域.另一方面,可数并不封闭,例如全体偶数这个子集.
因为全体偶数既不是有限集,也不是有限集的余集,所以不在A中.
但全体偶数 = ∪{2k}是有限集的可数并,即可表示为A中元素的可数并.