Question

已知函数f（x）=an-1x2+（1-an）x+an-1，（x＞0，n≥2）

Answer 1

解题思路：（1）根据f（1）=0，a1=1，可得an=2an-1+1，变形得an+1=2（an-1+1），从而求出数列{an}的通项公式；（2）由韦达定理分析易知，方程f（x）=0有根则必有正根，从而只需△≥0即可，然后利用等比数列求和公式可得1a1+1+1a2+1+1a3+1+…+1an+1＜12+122+…+12n＝12(1−12n)1−12＝1−12n＜1，证得结论．

（1）f（1）=a_n-1+1-a_n+a_n-1=0⇒a_n=2a_n-1+1⇒a_n+1=2（a_n-1+1）

∴a_n+1=2ⁿ⇒a_n=2ⁿ-1，（n∈N^*）

证明：（2）由韦达定理分析易知，方程f（x）=0有根则必有正根，∴只需△≥0即可△=(1-an)2-4

a2n-1≥0⇒(an-1)2≥4

a2n-1⇒an-1≥2an-1⇒

an+1

an-1+1≥2

∴an+1=(a1+1)•

a2+1

a1+1•

a3+1

a2+1•…

an+1

an-1+1≥(a1+1)•2n-1＞2n

∴

1

a1+1+

1

a2+1+

1

a3+1+…+

1

an+1＜

1

2+

1

22+…+

1

2n=

1

2(1-

1

2n)

1-

1

2=1-

1

2n＜1

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；一元二次方程的根的分布与系数的关系；数列的函数特性；等比数列的前n项和；数列递推式．

考点点评： 本题主要考查了构造法求数列的通项公式，同时考查了韦达定理的运用和等比数列的求和，是一道数列与不等式综合的题，有一定的难度．